S_{AS}

\textbf{Zadání:}\ Je\ dán\ pravidelný\ šestiboký\ jehlan\ ABCDEFV\ se\ středem\ podstavy\
S,|AB|=a,|VS|=v.\ Určete\ odchylku\ přímky\ CS_{AV}\ a\ roviny\ podstavy.

Úloha\ se\ vyřeší\ tím,\ že\ zjistíme\ \left|∢S_{AS}CS_{AV
}\right|.

krok

l

k

i

zpět

vynuluj

udělej celé

Nejprve\ potřebujeme\ kolmici\ na\ podstavu.\
V\ pravidelném\ n-bokém\ jehlanuu\ platí,\ že\
poromítnutá\ hrana\ |A_iV|\ do\ podstavy\ slpyne\
s\ úsečkou\ A_iS\ (středem\ podstavy)\ \Rightarrow S_{AV}\ se\ zobrazí\ na\ S_{AS}.

C

S_{AS}

S_{AV}

α

K\ tomu\ potřebjeme\ znát:\
|S_{AS}S_{AV}|=i,\ |CS_{AV}|=k\
|∢S_{AV}S_{AS}C|=90°\
pozn.:\ na\ závěr\ použijeme\ \textbf{Sinovu\ větu}\left(\frac{\sin90°}{k}=\frac{\sin\alpha}{i}\right)

i:\
V\ \Delta\ ASV\ je\ |S_{AV}S_{AS}|\ střední\ příčka.\
\Rightarrow  |S_{AV}S_{AS}|=\frac{VS}{2}=\frac v2

A

S

V

S_{AS}

S_{AV}

i

k:\
V\ \Delta ACV\ je\ |CS_{AV}|\ těžnicí.\
Podle \ \textbf{Pythagorovy\ věty:} |AV|=\sqrt{a^{2}+v^2}\
Podle\ vlastnosti\ jehlanu: |AV|=|CV|

A

C

V

q

S_{AV}

k

V\ tomto\ \Delta\ neznáme\ |AC|.\
Vypočítáme\ z\ \Delta ABC

A

C

B

q

Podstava\ jehlanu\ je\ 6-tiúhelník.\
|∢ABC|=120°,\ |AB|=|AC|=a\
Podle\ \textbf{Kosinovy\ věty:}\
q^2=2a^2-2a^2\cos120°\
q^2=2a^2+a^2\
q=\sqrt3a

Těžnici\ k\ vypočítáme\ pomocí\ \textbf{ Apolloniovy\ věty}.\
(pozn.:\ toto\ není\ běžný\ vzorec,\ proto\ ho\ sem\ napíšu)\
t_a=\sqrt{\frac{2b^{2}+2c^2-a^2}{4}}\
k=\sqrt{\frac{2q^2+2{|CV|}^2-{|AV|}^2}{4}}\
k=\frac{\sqrt{6a^2+2\left({a}^2+v^2\right)-a^2-v^2}}{2}\
k=\frac{\sqrt{7a^2+v^2}}{2}

Výpočet\ \alpha:\
\frac{\sin 90°}{k}=\frac{\sin\alpha}{i}\
\frac{1}{\frac{\sqrt{7a^2+v^2}}{2}}=\frac{\sin\alpha}{\frac{v}{2}}\
\frac{2}{\sqrt{7a^2+v^2}}=\frac{\sin\alpha}{\frac{v}{2}}\
\sin\alpha=\frac{v}{\sqrt{7a^2+v^2}}\
\sin\alpha=\frac{v\cdot\sqrt{7a^2+v^2}}{7a^2+v^2}

řešení (bez postupu)

S = (-0.760986669247691, -0.012824712782364855, 0)
f = OrthogonalLine(S, xOyPlane)
v = 2.5 (slider from 0.1 to 9, step 0.1)
a = 1.1 (slider from 0.1 to 9, step 0.1)
c = Circle(S, a, f)
A = Point(c)
d = Circle(A, a, f)
B, F = Intersect(c, d)
e = Circle(F, a, f)
F_1, E = Intersect(c, e)
g_2 = Circle(E, a, f)
H, D = Intersect(c, g_2)
h = Circle(D, a, f)
J, C = Intersect(c, h)
mnohoúhelník1, a_1, h_1, j, i_2, k_2, b = Polygon(A, H, J, D, C, B)
l_2, V, stenaADH, stenaDHJ, stenaDIJ, stenaDIK, stenaBDK, stenaABD, hranaAD, hranaDH, hranaDJ, hranaDI, hranaDK, hranaBD = Pyramid(mnohoúhelník1, (-v))
mnohoúhelník7, v_1, a_4, s = Polygon(A, S, V)
G = Midpoint(v_1)
S_{AV} = Midpoint(A, V)
o: 50
mnohoúhelník4, g, i_3, k_3 = Polygon(G, C, S_{AV})
I = (0.7013953488372129, 0.5021262458471769)
K = (-3.216212624584714, 0.5021262458471771)
I' = Rotate(I, 90°, K)
α = Angle(I, K, I')
m = Segment(K, I')
L = Point(m)
mnohoúhelník2, i, l, k = Polygon(L, K, I)
β = Angle(L, I, K)
u = Vector(S_{AV}, G)
M = (-4.327176079734215, -4.351029900332227)
N = (-1.851871539313396, -4.312048726467324)
M' = Rotate(M, (-(90°)), N)
γ = Angle(M', N, M)
n = Ray(N, M')
O = Point(n)
mnohoúhelník3, o_1, m_1, n_1 = Polygon(M, N, O)
P = Midpoint(o_1)
Q = Midpoint(n_1)
p = Segment(Q, P)
q = Segment(A, S)
δ = Angle(I, K, L)
R = (-0.799379844961236, -5.4619933554817255)
T = (1.9293023255814001, -5.4619933554817255)
r = Segment(R, T)
t = LineBisector(r)
U = Point(t)
mnohoúhelník5, t_1, r_1, u_1 = Polygon(R, U, T)
W = Midpoint(t_1)
f_1 = Segment(T, W)
mnohoúhelník6, c_1, a_2, v_2 = Polygon(A, V, C)
Z = (2.7868881506090846, -3.3570099667774067)
A_1 = (6.119778516057587, -3.298538205980064)
g_1 = Segment(Z, A_1)
i_1 = LineBisector(g_1)
B_1 = Point(i_1)
mnohoúhelník8, a_3, z_1, b_1 = Polygon(Z, B_1, A_1)
C_1 = Intersect(k_2, v_2)
mnohoúhelník9, c_2, a_5, b_2 = Polygon(A, B, C_1)
w = false
d_1: false